Der kleine und der große Satz von Fermat

Der kleine Satz von Fermat

Der kleine Satz von Fermat trifft folgende Aussage:
Wenn $p \in \mathbb{P}$ (also wenn $p$ eine Primzahl ist) und wenn $p \nmid a$ ( $p$ teilt nicht $a$ ) dann gilt für alle $a$ aus $\mathbb{Z}$ :

$a^{p-1} \equiv 1 \ mod \ p$

Beweis:
Seien $a,2a, \ \cdot\cdot\cdot,\ (p-1)a$ von $p-1$ verschiedene Zahlen. Dann kann gezeigt werden, dass es zu jedem $j \in \{1,\ \cdot\cdot\cdot,\ p-1 \}$ genau ein $k \in \{1, \ \cdot\cdot\cdot, \ p-1\}$ gibt, so dass

$j \cdot a \equiv k \ mod \ p$ (1)

vorliegt. Im Widerspruch zur Behauptung wird nun angenommen, dass $j \neq j'$ und $k \in \{1, \ \cdot\cdot\cdot, \ p-1\}$ vorgefunden werden kann, so dass

$j \cdot a \equiv k \equiv j' \cdot a \ mod \ p$ (2)

gilt. Da $p$ eine Primzahl und kein Teiler von $a$ ist, muss $ggT(a,p)=1$ sein. Auf Grund dessen, kann durch $a$ gekürzt werden und man erhält:

$j \equiv j' \ mod \ p$

Wegen $j,j' \in \{1, \ \cdot\cdot\cdot, \ p-1\}$ ist daher $j = j'$ im Widerspruch zu $j \neq j'$ . Die Behauptung (1) ist daher richtig.

Die jeweils zusammengehörenden Kongruenzen (1) für $j=1, \ 2, \cdot\cdot\cdot, \ (p-1)$ können nun mit $a$ erweitert werden und man erhält dann:

$1 \cdot 2 \cdot\cdot\cdot(p-1) \equiv a \cdot 2a \cdot\cdot\cdot (p-1)a \equiv a^{p-1}1 \cdot 2 \cdot\cdot\cdot (p-1) \ mod \ p$

Da $1 \cdot 2 \cdot\cdot\cdot (p-1)=(p-1)!$ und die Primzahl $p$ teilerfremd sind können diese Konkruenzen durch $(p-1)!$ dividiert werden und man erhält die obige Behauptung.

Der große Satz von Fermat

Der große Satz von Fermat wird hier nur der Vollständigkeit halber kurz vorgestellt, da wenn man vom „kleinen Satz von Fermat“ hört, man sich berechtigterweise auch die Frage stellt, ob es dann auch einen „großen Satz von Feramt“ gibt.

Der große Satz von Fermat besagt: Ist $n=\{n \in \mathbb{N} \ | \ n >2\}$ , so kann die $n-te \ Potenz$ jeder natürlichen Zahl ungleich null nicht in die Summe zweier $n-ter \ Potenzen$ natürlicher Zahlen ungleich null zerlegt werden.

Dies bedeutet formal ausgedrückt: